Calculo Proyecto de Modulo III y IV

Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Dr. Pablo González Casanova”

Alumnos: 

Victor Daniel Espinoza Avilés 

Erika Alexandra Franco Sánchez 

Aketzali Natalia Hernández Lara 

Daniela Alejandra Lopez Aguirre 

Xochiquetzal Quintero Millán

Fátima del Carmen Romero Gomez

Profesor: VICTOR ERIC VELÁZQUEZ NÚÑEZ.

   Calculo Diferencial

Quinto Semestre             Grupo: 503






Ejercicios 
1.- Una imprenta contrato para hacer invitaciones para una boda, de manera que la invitación tenga 180 cm² de material impreso, dejando en cada invitación 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las dimensiones que debe tener la invitación para que la imprenta utilice la menor cantidad de papel posible.

(x+6)(x+4)=180 cm²
(x+6)(x+4)= x² + 10x + 24
F(x)= x² +10x + 24
F(x)= 2x+ 10
    

f'(x) = (-6) = 2(-6) + 10 = -2  → MÁXIMO
f'(x) = (-4) = 2(-4) + 10 = 6 → MÍNIMO 

3.- Un Vitral está formado por un rectángulo y en la parte superior tiene un semicírculo, si el perímetro del vitral mide 8 m determine las dimensiones del vitral para que su área sea máxima. 

Perimetro = 8m 

Área del semicírculo = ½ πr² 󠀡
Área del rectángulo = 2rh
Área total = 2rh + ½ πr² 󠀡 
Perímetro Total = πr + 2r + 2h = 8

PERÍMETRO =
2h = 8 - πr - 2r
h = 4 - ½πr - r

ÁREA (Sustituimos "h") 
A = 2r(4 - ½πr - r) + ½ πr²
A = 8r - πr² - 2r² + ½ πr²
A = -2r² + 8r - ½ πr²
A' = -4r + 8 - πr 
Igualamos a "0"
-4r + 8 - πr = 0 
8 = 4r + πr
r = 8 / ( 4 + π) 
r = 1.12 

Sustituir "r" en "h" 
h = 4 - ½π(1.12) - 1.12
h = 4 - 1.75 - 1.12 
h = 1.13 

Sustituir todos los resultados en el área y en el perímetro

Área 
2rh + ½ πr² 󠀡 
A = 2(1.12)(1.13) + ½ π(1.12)²
A = 2.53 + 1.97
A = 4.5 m² 󠀡 

Perímetro
πr + 2r + 2h
P = π(1.12) + 2(1.12)  + 2(1.13) 
P = 3.51 + 2.54 + 2.26
P = 8.31 m 

5.- Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidad de 4 litros. ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad de material en su fabricación?

7.- Un fabricante desea construir una caja rectangular sin tapa a partir de una pieza rectangular de cartón de 50 x 40 cm, para lo cual debe de hacer cortes cuadrados en las esquinas y doblar los lados. Determine de qué medida debe cortarse el cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo. 

V= (40cm-2x) (50cm-2x)= 2000x-180x² + 4x³
 f(x)= 2000x-180x² + 4x³
f ’(x)= 2000 - 360x + 12x²

f ’'(x)= 12x² - 360x + 2000 

= 24x-360

Formula General con el primer despeje f ’(x)= 2000 - 360x + 12x²

a = 12 b = -360 c = 2000

Sustitución 

f''(22.6) = 24(22.6) - 360 

= 542.4 - 360

= 182.4

f''(7.3) = 24(7.3) - 360 

= 175.2-360

= - 184.8


Corte para las esquinas de la caja = 7.3 para un volumen máximo para la caja. 

9.-Pedro desea cercar en forma rectangular una fracción de terreno para utilizarlo de corral en uno de los lados más largos aprovechara una barda que ya existe, cuáles deben ser las dimensiones a cercar, si desea que el área cercada sea máxima utilizando 480 m de malla.



área del rectángulo A = bh
Largo del rectángulo = (480 - x) / 2 
Ancho = x

A = x (240 - x/2) 
= 240 - x²/2
f '(x) = 240 - 1/2 (2) x²-¹  

= 240 - x

Igualamos a 0
0 = 240 - x
x= 240

Hacemos segunda derivada 
= 240 - x 
= 0 - 1
=-1 (máximo)

Ancho = 240
Largo = 480 - 240/2
= 360

11.- Un Proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación, donde h es altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo que alcanza su altura máxima y su valor de esta.